Sumário

1 Objetivo

O objetivo deste relatório é avaliar, por meio de simulação Monte Carlo, o comportamento do teste de hipótese para a média populacional com distribuição normal, utilizando o teste Z. Foram simuladas 10.000 amostras de tamanho 30 para calcular o erro tipo I (alpha empírico) e o poder do teste (1 - beta) em diferentes níveis de significância (1%, 5% e 10%) e sob deslocamentos de 1, 2 e 3 erros padrão da média. O estudo busca comparar o alpha empírico ao teórico e analisar como o poder do teste varia conforme o deslocamento da média e o nível de significância.

2 Execução da Simulação

2.1 Inicialização de variáveis

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# Simulação Monte Carlo - Teste Z
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library(ggplot2)
library(reshape2)

# Parâmetros
n <- 30
mu_0 <- 90
sigma <- 4
n_sim <- 10000
alphas <- c(0.01, 0.05, 0.10)

Esta parte do Código inicializa as variáveis, definindo o tamanho da amostra (n) como 30 valores, a média hipotética (mu_0) como 90, o desvio padrão (sigma) como quatro, o número de simulações como 10000 e os níveis de significância (alphas) para os quais devem ser realizados os testes.

# Função de simulação - simula o alpha empírico
simula_erro_ou_poder <- function(mu_real, alpha) {
  z_crit <- qnorm(1 - alpha / 2)
  rejeicoes <- numeric(n_sim)
  
  for (i in 1:n_sim) {
    amostra <- rnorm(n, mean = mu_real, sd = sigma)
    x_barra <- mean(amostra)
    z_teste <- (x_barra - mu_0) / (sigma / sqrt(n))
    rejeicoes[i] <- ifelse(abs(z_teste) >= z_crit, 1, 0)
  }
  
  mean(rejeicoes)
}

A seção acima cria a função que simulará 10000 vezes os dados e gerar um Z crítico do teste Z, para depois armazenar em um vetor as rejeições.

# Guardar resultados
resultados <- data.frame(
  Alpha = numeric(),
  Erro_Tipo_I = numeric(),
  Poder_1sigma = numeric(),
  Poder_2sigma = numeric(),
  Poder_3sigma = numeric()
)

# Loop de simulações
for (alpha in alphas) {
  cat("Rodando simulações para alpha =", alpha, "\n")
  
  alpha_emp <- simula_erro_ou_poder(mu_real = mu_0, alpha = alpha)
  
  desloc_1 <- mu_0 + 1 * (sigma / sqrt(n))
  desloc_2 <- mu_0 + 2 * (sigma / sqrt(n))
  desloc_3 <- mu_0 + 3 * (sigma / sqrt(n))
  
  poder1 <- simula_erro_ou_poder(mu_real = desloc_1, alpha = alpha)
  poder2 <- simula_erro_ou_poder(mu_real = desloc_2, alpha = alpha)
  poder3 <- simula_erro_ou_poder(mu_real = desloc_3, alpha = alpha)
  
  resultados <- rbind(resultados, data.frame(
    Alpha = alpha,
    Erro_Tipo_I = round(alpha_emp, 4),
    Poder_1sigma = round(poder1, 4),
    Poder_2sigma = round(poder2, 4),
    Poder_3sigma = round(poder3, 4)
  ))
}
## Rodando simulações para alpha = 0.01 
## Rodando simulações para alpha = 0.05 
## Rodando simulações para alpha = 0.1

Esta etapa cria um loop para rodar as simulações. Para cada valor de alpha, calcula um alpha empírico utilizando a função do bloco anterior, considerando a hipótese de mu_real ser igual a mu_0. Nisso, é calculado o poder considerando os três cenários da proposta, deslocando a média 1, 2 e 3x. Por fim, simula o poder empírico para cada cenário.

# Mostrar tabela final
print(resultados)
##   Alpha Erro_Tipo_I Poder_1sigma Poder_2sigma Poder_3sigma
## 1  0.01      0.0089       0.0565       0.2851       0.6655
## 2  0.05      0.0492       0.1704       0.5129       0.8599
## 3  0.10      0.1004       0.2634       0.6382       0.9135
# Reformatar para gráfico
resultados_long <- melt(resultados, id.vars = "Alpha")

# Criar gráfico
grafico <- ggplot(resultados_long, aes(x = factor(Alpha), y = value, fill = variable)) +
  geom_bar(stat = "identity", position = "dodge") +
  labs(title = "Erro Tipo I e Poder Empírico por Nível de Significância",
       x = "Nível de Significância (α)",
       y = "Proporção",
       fill = "Métrica") +
  theme_minimal() +
  scale_fill_brewer(palette = "Set2")

# Mostrar gráfico
print(grafico)

# Salvar gráfico
ggsave("grafico_teste_Z.png", plot = grafico, width = 10, height = 6)

# Fim
cat("Simulações concluídas. Resultados exportados.\n")
## Simulações concluídas. Resultados exportados.

Por fim, os resultados são guardados em um data frame, que gera uma tabela. E os mesmos valores estão dispostos no gráfico.

3 Conclusão

Com este experimento, é possível perceber que nosso alpha empírico está muito próximo do alpha teórico, mesmo com poucos erros para cima ou para baixo. Também é possível notar que quanto maior maior o deslocamento da média, maior o poder do teste, e quanto menor o alpha, menor o poder.