Neste relatório, deve-se analisar um experimento em DIC (Delineamento Inteiramente Causalizado), realizando a Análise Descritiva geral e de cada tratamento (com média, desvio padrão e coeficiente de variação) e uma análise gráfica de Boxplot. Também é necessário realizar uma Análise de Variância, com hipóteses H0 e H1, tabela de ANAVA, e análise gráfica de resíduos.
Para trabalhar neste relatório, será necessário utilizar o banco de dados abaixo proposto pelo professor. Com ele, devemos avaliar o Erro Quadrático Médio (EQM) dos 5 algorítmos de controle: PID, LQR, Fuzzy, Controle Adaptativo e por Redes Neurais. Nele, temos a estrutura de 5 tratamentos (métodos de controle), 6 repetições para cada e 1 variável de resposta.
# Banco de dados
controle <- c(rep("PID", 6), rep("LQR", 6), rep("Fuzzy", 6), rep("Adaptativo", 6), rep("Redes Neurais", 6))
eqm <- c(0.322, 0.338, 0.428, 0.354, 0.356, 0.436,
0.298, 0.229, 0.253, 0.262, 0.329, 0.294,
0.444, 0.427, 0.387, 0.527, 0.450, 0.302,
0.345, 0.286, 0.257, 0.299, 0.259, 0.274,
0.231, 0.199, 0.275, 0.255, 0.216, 0.288)
dados <- data.frame(controle = as.factor(controle), eqm = eqm)
print(dados)## controle eqm
## 1 PID 0.322
## 2 PID 0.338
## 3 PID 0.428
## 4 PID 0.354
## 5 PID 0.356
## 6 PID 0.436
## 7 LQR 0.298
## 8 LQR 0.229
## 9 LQR 0.253
## 10 LQR 0.262
## 11 LQR 0.329
## 12 LQR 0.294
## 13 Fuzzy 0.444
## 14 Fuzzy 0.427
## 15 Fuzzy 0.387
## 16 Fuzzy 0.527
## 17 Fuzzy 0.450
## 18 Fuzzy 0.302
## 19 Adaptativo 0.345
## 20 Adaptativo 0.286
## 21 Adaptativo 0.257
## 22 Adaptativo 0.299
## 23 Adaptativo 0.259
## 24 Adaptativo 0.274
## 25 Redes Neurais 0.231
## 26 Redes Neurais 0.199
## 27 Redes Neurais 0.275
## 28 Redes Neurais 0.255
## 29 Redes Neurais 0.216
## 30 Redes Neurais 0.288Para a realização da Análise Descritiva, foi necessário realizar a média (X barra), o desvio padrão (S) e o coeficiente de variação (CV).
media_geral <- mean(dados$eqm)
dp_geral <- sd(dados$eqm)
cv_geral <- 100 * dp_geral / media_geral
cat("Média:", media_geral, "\nDesvio Padrão:", dp_geral, "\nCoef. de Variação (CV%):", cv_geral)## Média: 0.3206667
## Desvio Padrão: 0.0807996
## Coef. de Variação (CV%): 25.19738Conforme é possível ver acima, estes são os valores gerais de média (0.3206667), Desvio Padrão (0.0807996) e Coeficiente de Variação (25.19738).
##
## Anexando pacote: 'dplyr'## Os seguintes objetos são mascarados por 'package:stats':
##
## filter, lag## Os seguintes objetos são mascarados por 'package:base':
##
## intersect, setdiff, setequal, uniondados %>%
group_by(controle) %>%
summarise(
media = mean(eqm),
desvio_padrao = sd(eqm),
cv = 100 * sd(eqm) / mean(eqm)
)## # A tibble: 5 × 4
## controle media desvio_padrao cv
## <fct> <dbl> <dbl> <dbl>
## 1 Adaptativo 0.287 0.0327 11.4
## 2 Fuzzy 0.423 0.0748 17.7
## 3 LQR 0.278 0.0362 13.0
## 4 PID 0.372 0.0479 12.9
## 5 Redes Neurais 0.244 0.0346 14.2Acima, é possível ver os dados de Média, Desvio Padrão e Coeficiente de Variância para cada controlador. E segue abaixo o gráfico boxplot por tipo de controle, analisando o erro quadrático médio (EQM) de cada um.
Sobre o gráfico, é possível perceber que os métodos de controle Adaptativo e LQR são bem parecidos, quanto à sua distribuição de EQMs, visto que possuem uma mediana relativamente próxima e variações absolutas semelhantes, apesar do LQR possuir maior distância entre seus limites.
Também é possível observar que a distribuição dos valores de EQM dos controles por Fuzzy e PID tendem a um dos limites. No caso do Fuzzy, seus EQMs estão mais distribuidos entre a mediana e o primeiro quartil. Já no PID, o contrário se verifica, onde os valores se distribuem mais entre a mediana e o terceiro quartil.
#boxplot
boxplot(eqm ~ controle, data = dados, col = "skyblue",
main = "Boxplot do EQM por Tipo de Controle",
ylab = "Erro Quadrático Médio (EQM)")
Para a Analise de Variância, deve ser estabelecida a relação entre as hipóteses H₀ e H₁, uma tabela ANAVA e uma análise gráfica de resíduos.
Para a relação das hipóteses, segue a explicação abaixo:
H₀: μ₁ = μ₂ = μ₃ = μ₄ = μ₅ (os controladores têm a mesma média de EQM)
H₁: ao menos um controlador difere significativamente
Abaixo, podemos ver a tabela ANAVA utilizando a função sugerida pelo professor.
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## controle 4 0.1320 0.03301 14.4 3.16e-06 ***
## Residuals 25 0.0573 0.00229
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1Com isso, podemos interpretar os resultados e afirmar que como o valor P é muito menor que o alpha definido (0,05), a hipótese H0 pode ser descartada, confirmando que existe uma diferença significativa entre os tipos de controle.
É possível observar que:
Sobre o gráfico Residuals vs fitted, é possível perceber que há uma aleatoriedade quanto a distribuição dos resíduos ao longo da linha 0, menos nos últimos valores, que possuem alguns outliers e com uma inclinação na linha de fitted em vermelho.
há uma normalidade da dsitribuição dos resíduos, visto o Gráfico Q-Q ser aproximadamente linear, com apenas os dois últimos pontos se destacando, porém nada fora do normal.
O gráfico Scale Location apresenta uma homocedasticidade (variância constante) que está, no geral, distribuida de forma aleatória acima e abaixo da linha de regrssão (vermelha), apenas com os primeiros e últimos valores possuindo maior distribuiçãoa baixo da linha.
E por fim, o gráfico Constant Leverage: Residuals vs Factor Levels apresenta um tratamento razoavelmente centrado em 0 com uma certa simetria. Portanto, pode-se dizer que os erros estão aleatoriamente distribuidos.
Em aula, foi pedido para pesquisar como calcular os Graus de Liberdade (GL), Soma dos Quadrados (SQ) e Quadrado Médio (QM) e comparar com os valores dados pelo R no código abaixo:
# Tabela ANOVA manual
SQT <- sum((tapply(dados$eqm, dados$controle, mean) - mean(dados$eqm))^2 * 6) # 6 repetições
SQR <- sum((dados$eqm - fitted(modelo))^2)
SQTotal <- sum((dados$eqm - mean(dados$eqm))^2)
GLT <- length(unique(dados$controle)) - 1
GLR <- length(dados$eqm) - length(unique(dados$controle))
GLTotal <- length(dados$eqm) - 1
QMT <- SQT / GLT
QMR <- SQR / GLR
QMTotal <- QMT + QMR
F <- QMT / QMR
tabela_anova_manual <- data.frame(
Fonte = c("Tratamento", "Resíduo", "Total"),
GL = c(GLT, GLR, GLTotal),
SQ = c(SQT, SQR, SQTotal),
QM = c(QMT, QMR, QMTotal),
F = c(F, NA, NA)
)
tabela_anova_manual## Fonte GL SQ QM F
## 1 Tratamento 4 0.1320277 0.03300692 14.40067
## 2 Resíduo 25 0.0573010 0.00229204 NA
## 3 Total 29 0.1893287 0.03529896 NAPortanto, os GL representam a quantidade de informações independentes disponíveis para variarem. O GL dos tratamentos (GLT) é feito pelo N° de tratamentos - 1, sendo GLT = 4. O GL dos resíduos (GLR) é o N° de observações - N° de tratamentos, que é GLR = 25. O total é a soma dos dois. Comparando com a tabela, os valores indicados pelo R são verdadeiros.
Sobre a SQ, que significa a variabilidade associada a cada fonte. Ao dividir em dois grupos, SQ dos Tratamentos (SQT) e SQ dos Resíduos (SQR), deve-se para o primeiro, calcular a média de cada grupo, subtrair a média geral, elevar ao quadrado e multiplicar pelo número de repetições (6 por grupo), resultando em SQT = 0,132028. Para o segundo, deve-se calcular a diferença entre o valor observado e o valor ajustado e elevar ao quadrado. O resultado é SQR = 0,057301. O total é a soma de ambos. Comparando com a tabela, os valores coincidem.
O Quadrado Médio (QM) é feito pelo cálculo da SQ dividida pelo respectivo GL, representando a variabilidade média. Temos o Quadrado Médio dos Tratamentos (QMT) sendo a divisão entre GLT e SQT, resultando em QMT = 0,033007. E temos o Quadrado Médio dos Resíduos (QMR) representado pela divisão entre GLR e SQR, com QMR = 0,002292. O total pode ser representado pela soma dos dois, sendo QMTotal = 0,035299. Os resultados coincidem com a tabela.
A partir da análise realizada neste relatório, foi possível avaliar e comparar o desempenho de cinco algoritmos de controle (PID, LQR, Fuzzy, Adaptativo e Redes Neurais) quanto ao Erro Quadrático Médio (EQM), utilizando um experimento em Delineamento Inteiramente Casualizado (DIC). A análise descritiva inicial, composta pela média, desvio padrão e coeficiente de variação, forneceu uma visão geral e individual de cada tratamento, permitindo identificar diferenças preliminares nos comportamentos dos métodos de controle avaliados.
O gráfico boxplot complementou a análise descritiva, evidenciando a distribuição dos EQMs em cada tipo de controle. Observou-se que os métodos Adaptativo e LQR apresentaram padrões similares em suas distribuições, enquanto os métodos Fuzzy e PID demonstraram assimetrias distintas, sugerindo variações de desempenho mais específicas nesses algoritmos.
A Análise de Variância (ANOVA) confirmou estatisticamente que há diferença significativa entre os métodos de controle analisados, com valor-p muito inferior ao nível de significância adotado (α = 0,05). Isso indica a rejeição da hipótese nula (H₀), que assumia igualdade entre as médias dos tratamentos, reforçando a conclusão de que ao menos um dos controladores se destaca em relação aos demais.
A análise dos resíduos mostrou que os pressupostos da ANOVA foram razoavelmente atendidos: os resíduos apresentaram distribuição aproximadamente normal, homocedasticidade e ausência de padrões sistemáticos, apesar da presença de alguns valores atípicos. Esses aspectos garantem a confiabilidade dos resultados inferenciais obtidos.
Por fim, a verificação manual dos componentes da ANOVA — graus de liberdade (GL), soma dos quadrados (SQ), quadrado médio (QM) e estatística F — confirmou a consistência dos cálculos realizados pelo R, reforçando a compreensão prática dos conceitos estatísticos envolvidos.
Dessa forma, o experimento permitiu não apenas identificar diferenças significativas entre os métodos de controle, como também consolidar o uso das ferramentas estatísticas para análise de experimentos em DIC, sendo um recurso valioso na comparação de desempenho entre diferentes técnicas.
Sites utilizados de referência para os estudos: https://fernandafperes.com.br/blog/interpretacao-boxplot/ https://rpubs.com/iabrady/residual-analysis