Neste relatório será necessário apresentar um estudo sobre o procedimento de comparação múltipla Scott-Knot, além de mostrar sua aplicação no R para obter os resultados.
O procedimento de Scott-Knott é amplamente utilizado em experimentos com o objetivo de comparar tratamentos distintos. Sua finalidade é agrupar as médias em conjuntos estatisticamente homogêneos, buscando minimizar a soma de quadrados dentro; e maximizando-a entre os grupos, sem sobrepô-los. Para isso, é necessário ordenar as médias para que suas respectivas classificações sejam possíveis, e determinar o número de partições possíveis, a fim de realizar a maximização entre esses grupos.
Portanto, o teste Scott-Knott é uma técnica de partição que visa minimizar ou maximizar a soma dos quadrados entre grupos a partir de médias de tratamentos ordenadas, a fim de testar o quão significativo é essa divisão dos tratamentos utilizando a razão de verossimilhança.
Utilizaremos um exemplo da área de Engenharia Mecatrônica, os controladores de relatórios passados, comparando seus Erros Quadráticos Médios (EQM).
Primeiro, precisamos definir as hipóteses \(H_0\) e \(H_1\):
Assumindo \(G_1\) e \(G_2\) como sendo os totais dos dois grupos de médias com k1 e k2 tratamentos cada, ou seja, os totais de tratamentos em cada grupo. A estatística utilizada no teste é dada por:
\[ \lambda = \frac{\pi}{2(\pi - 2)} \cdot \frac{B_0}{\sigma^2_0} \]
Onde:
\[ B_0 = \frac{T_1^2}{k_1} + \frac{T_2^2}{k_2} - \frac{(T_1 + T_2)^2}{k_1 + k_2} \]
O Estimador de Máxima Verossimilhança, definido da seguinte forma:
\[ \sigma^2_0 = \frac{1}{k + v} \left[ \sum_{i=1}^r (y_{i.} - \bar{y}_{..})^2 + v \cdot s_y^2 \right] \]
Onde:
Sob a hipótese nula, a estatística \(\lambda \sim \chi^2_{k(\pi - 2)}\). A decisão é tomada da seguinte forma:
A seguir, simulamos dados representando o desempenho de cinco controladores de velocidade em termos de Erro Quadrático Médio (EQM):
##
## Anexando pacote: 'dplyr'## Os seguintes objetos são mascarados por 'package:stats':
##
## filter, lag## Os seguintes objetos são mascarados por 'package:base':
##
## intersect, setdiff, setequal, union# Simulando os dados
set.seed(42)
controlador <- gl(5, 6, labels = c("PID", "LQR", "Fuzzy", "Adaptativo", "RedesNeurais"))
eqm <- c(
rnorm(6, mean = 5, sd = 0.5),
rnorm(6, mean = 4.8, sd = 0.5),
rnorm(6, mean = 3.0, sd = 0.4),
rnorm(6, mean = 3.2, sd = 0.4),
rnorm(6, mean = 2.9, sd = 0.3)
)
dados <- data.frame(controlador, eqm)
# Exibir tabela formatada
dados |>
gt() |>
tab_style(
style = list(cell_text(weight = "bold", color = "white"),
cell_fill(color = "black")),
locations = cells_column_labels()
) |>
tab_style(
style = cell_text(align = "center"),
locations = cells_body(columns = everything())
) |>
data_color(
columns = everything(),
rows = seq(1, 6, 1),
palette = "#f2f2f2"
) |>
data_color(
columns = everything(),
rows = seq(7, 12, 1),
palette = "#FFB2B2"
) |>
data_color(
columns = everything(),
rows = seq(13, 18, 1),
palette = "#f2f2f2"
) |>
data_color(
columns = everything(),
rows = seq(19, 24, 1),
palette = "#FFB2B2"
)|>
data_color(
columns = everything(),
rows = seq(25, 30, 1),
palette = "#f2f2f2"
)| controlador | eqm |
|---|---|
| PID | 5.685479 |
| PID | 4.717651 |
| PID | 5.181564 |
| PID | 5.316431 |
| PID | 5.202134 |
| PID | 4.946938 |
| LQR | 5.555761 |
| LQR | 4.752670 |
| LQR | 5.809212 |
| LQR | 4.768643 |
| LQR | 5.452435 |
| LQR | 5.943323 |
| Fuzzy | 2.444456 |
| Fuzzy | 2.888484 |
| Fuzzy | 2.946671 |
| Fuzzy | 3.254380 |
| Fuzzy | 2.886299 |
| Fuzzy | 1.937418 |
| Adaptativo | 2.223813 |
| Adaptativo | 3.728045 |
| Adaptativo | 3.077345 |
| Adaptativo | 2.487477 |
| Adaptativo | 3.131233 |
| Adaptativo | 3.685870 |
| RedesNeurais | 3.468558 |
| RedesNeurais | 2.770859 |
| RedesNeurais | 2.822819 |
| RedesNeurais | 2.371051 |
| RedesNeurais | 3.038029 |
| RedesNeurais | 2.708002 |
Abaixo, temos a tabela ANOVA e a separação de grupos gerada pelo teste Scott-Knot:
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## controlador 4 41.79 10.447 47.73 2.38e-11 ***
## Residuals 25 5.47 0.219
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1# Converter resultado ANOVA para data frame
anova_df <- summary(modelo)[[1]] |>
tibble::rownames_to_column("Fonte de Variação") |>
rename(
`GL` = Df,
`SQ` = `Sum Sq`,
`QM` = `Mean Sq`,
`Valor-F` = `F value`,
`Pr(>F)` = `Pr(>F)`
)
# Exibir tabela ANOVA com formatação
anova_df |>
gt() |>
tab_header(
title = md("**Tabela - ANOVA do Modelo**")
) |>
tab_style(
style = list(cell_text(weight = "bold", color = "white"),
cell_fill(color = "black")),
locations = cells_column_labels()
) |>
tab_style(
style = cell_text(align = "center"),
locations = cells_body(columns = everything())
) |>
fmt_number(
columns = where(is.numeric),
decimals = 3
)| Tabela - ANOVA do Modelo | |||||
| Fonte de Variação | GL | SQ | QM | Valor-F | Pr(>F) |
|---|---|---|---|---|---|
| controlador | 4.000 | 41.788 | 10.447 | 47.726 | 0.000 |
| Residuals | 25.000 | 5.472 | 0.219 | NA | NA |
## Goups of means at sig.level = 0.05
## Means G1 G2
## LQR 5.38 a
## PID 5.18 a
## Adaptativo 3.06 b
## RedesNeurais 2.86 b
## Fuzzy 2.73 bO procedimento de Scott-Knott demonstrou-se uma ferramenta estatística eficaz para a comparação de médias entre tratamentos, sobretudo quando o objetivo é realizar agrupamentos não sobrepostos com significância estatística. Sua capacidade de maximizar a variância entre grupos e minimizar dentro dos grupos permite uma análise mais clara e objetiva dos resultados.
No exemplo simulado com cinco tipos de controladores, o teste conseguiu identificar dois grupos distintos em termos de desempenho médio, medido pelo Erro Quadrático Médio (EQM). O grupo com melhores resultados foi composto pelos controladores Fuzzy, Adaptativo e Redes Neurais, enquanto PID e LQR apresentaram desempenhos estatisticamente superiores (ou seja, piores em termos de EQM).
A aplicação prática no R mostrou-se direta e acessível, principalmente com o uso de pacotes como ScottKnott, gt e dplyr, que facilitam a execução da análise e a visualização dos resultados. Isso torna o teste Scott-Knott uma excelente escolha para experimentos que exigem comparações múltiplas com clareza estatística e visual.
Em suma, a análise permitiu concluir que a escolha do controlador influencia significativamente no desempenho, e o uso de métodos estatísticos adequados é essencial para respaldar tecnicamente decisões em projetos de engenharia e automação.
Pinheiro, N. O. Aplicação do Método Scott-Knott em Estudo de Brusone no Trigo. Tese (Bacharelado em Estatística) - Faculdade de Estatística, Universidade de Brasília. Brasília. 2017.
library(ScottKnott)
library(gt)
library(dplyr)
# Simulando os dados
set.seed(42)
controlador <- gl(5, 6, labels = c("PID", "LQR", "Fuzzy", "Adaptativo", "RedesNeurais"))
eqm <- c(
rnorm(6, mean = 5, sd = 0.5),
rnorm(6, mean = 4.8, sd = 0.5),
rnorm(6, mean = 3.0, sd = 0.4),
rnorm(6, mean = 3.2, sd = 0.4),
rnorm(6, mean = 2.9, sd = 0.3)
)
dados <- data.frame(controlador, eqm)
# Exibir tabela formatada
dados |>
gt() |>
tab_style(
style = list(cell_text(weight = "bold", color = "white"),
cell_fill(color = "black")),
locations = cells_column_labels()
) |>
tab_style(
style = cell_text(align = "center"),
locations = cells_body(columns = everything())
) |>
data_color(
columns = everything(),
rows = seq(1, 6, 1),
palette = "#f2f2f2"
) |>
data_color(
columns = everything(),
rows = seq(7, 12, 1),
palette = "#FFB2B2"
) |>
data_color(
columns = everything(),
rows = seq(13, 18, 1),
palette = "#f2f2f2"
) |>
data_color(
columns = everything(),
rows = seq(19, 24, 1),
palette = "#FFB2B2"
)|>
data_color(
columns = everything(),
rows = seq(25, 30, 1),
palette = "#f2f2f2"
)
# ANOVA
modelo <- aov(eqm ~ controlador, data = dados)
summary(modelo)
# Converter resultado ANOVA para data frame
anova_df <- summary(modelo)[[1]] |>
tibble::rownames_to_column("Fonte de Variação") |>
rename(
`GL` = Df,
`SQ` = `Sum Sq`,
`QM` = `Mean Sq`,
`Valor-F` = `F value`,
`Pr(>F)` = `Pr(>F)`
)
# Exibir tabela ANOVA com formatação
anova_df |>
gt() |>
tab_header(
title = md("**Tabela - ANOVA do Modelo**")
) |>
tab_style(
style = list(cell_text(weight = "bold", color = "white"),
cell_fill(color = "black")),
locations = cells_column_labels()
) |>
tab_style(
style = cell_text(align = "center"),
locations = cells_body(columns = everything())
) |>
fmt_number(
columns = where(is.numeric),
decimals = 3
)
# Aplicação do teste Scott-Knott
sk <- SK(modelo)
summary(sk)