O objetivo deste relatório é investigar a adequação do modelo de análise de variância (ANAVA) tradicional frente às pressuposições estatísticas fundamentais para sua validade, com foco na análise de resíduos. A ANAVA pressupõe que os erros (ou resíduos) do modelo sejam normalmente distribuídos, com variâncias homogêneas entre os grupos (homocedasticidade) e independentes. Quando essas suposições não são atendidas, os resultados do teste F podem ser enganosos, levando a interpretações equivocadas sobre a significância dos fatores estudados. Assim, este trabalho busca aplicar ferramentas diagnósticas gráficas e testes formais para avaliar essas suposições e, diante de violações, propor soluções metodológicas adequadas.
Para ilustrar essas situações, é apresentado um experimento simulado utilizando dados artificiais com características específicas, como a presença de valores extremos (outliers), que intencionalmente comprometem a normalidade e a homocedasticidade dos resíduos. O objetivo é demonstrar como a análise de resíduos pode evidenciar esses problemas e como estratégias corretivas - como transformações nos dados ou o uso de métodos não paramétricos, como o teste de Kruskal-Wallis - podem ser aplicadas de forma eficaz. O relatório visa, portanto, reforçar a importância da validação dos pressupostos da ANAVA como etapa essencial na análise de experimentos, garantindo que as conclusões estatísticas sejam confiáveis e representem com precisão os fenômenos investigados.
Neste estudo, simulamos um experimento com o objetivo de comparar a eficácia de três métodos de controle automático (PID, LQR e Fuzzy) aplicados a um sistema térmico. A variável de interesse é o tempo de estabilização do sistema, medido em segundos, que representa o tempo necessário para o sistema atingir um estado estacionário após uma perturbação. Cada método de controle é avaliado com 10 réplicas, totalizando 30 observações no experimento. O fator experimental é o Tipo de Controle, com três níveis: PID, LQR e Fuzzy.
Para fins didáticos e de investigação estatística, foi introduzida uma situação anômala no grupo Fuzzy: três observações com valores extremamente altos (25, 28 e 30 segundos) foram incluídas intencionalmente. Esses valores são outliers graves, muito distantes da média esperada do grupo. O objetivo é analisar o impacto desses outliers nas pressuposições da ANAVA tradicional, em especial a normalidade dos resíduos e a homogeneidade das variâncias, e propor soluções adequadas quando essas condições são violadas. A análise será conduzida com ferramentas gráficas e testes formais, seguida de uma abordagem alternativa baseada em métodos não paramétricos.
##
## Anexando pacote: 'dplyr'## Os seguintes objetos são mascarados por 'package:stats':
##
## filter, lag## Os seguintes objetos são mascarados por 'package:base':
##
## intersect, setdiff, setequal, union# Gerar os dados
set.seed(456)
Controle <- rep(c("PID", "LQR", "Fuzzy"), each = 10)
Tempo <- c(
rnorm(10, mean = 10, sd = 0.5), # PID
rnorm(10, mean = 9, sd = 0.6), # LQR
c(rnorm(7, mean = 11, sd = 0.4), 25, 30, 28) # Fuzzy com outliers
)
dados <- data.frame(Controle, Tempo)
# Exibir tabela formatada
dados |>
gt() |>
tab_style(
style = list(cell_text(weight = "bold", color = "white"),
cell_fill(color = "black")),
locations = cells_column_labels()
) |>
tab_style(
style = cell_text(align = "center"),
locations = cells_body(columns = everything())
) |>
data_color(
columns = everything(),
rows = seq(1, 10, 1),
palette = "#f2f2f2"
) |>
data_color(
columns = everything(),
rows = seq(11, 20, 1),
palette = "#FFB2B2"
) |>
data_color(
columns = everything(),
rows = seq(21, 30, 1),
palette = "#f2f2f2"
) | Controle | Tempo |
|---|---|
| PID | 9.328239 |
| PID | 10.310888 |
| PID | 10.400437 |
| PID | 9.305554 |
| PID | 9.642822 |
| PID | 9.837969 |
| PID | 10.345321 |
| PID | 10.125274 |
| PID | 10.503676 |
| PID | 10.286617 |
| LQR | 8.450514 |
| LQR | 9.786658 |
| LQR | 9.593236 |
| LQR | 9.992357 |
| LQR | 8.135517 |
| LQR | 10.168414 |
| LQR | 10.042162 |
| LQR | 9.232490 |
| LQR | 10.368020 |
| LQR | 9.922730 |
| Fuzzy | 10.810158 |
| Fuzzy | 10.313076 |
| Fuzzy | 10.429268 |
| Fuzzy | 11.083294 |
| Fuzzy | 10.985666 |
| Fuzzy | 11.453714 |
| Fuzzy | 10.814858 |
| Fuzzy | 25.000000 |
| Fuzzy | 30.000000 |
| Fuzzy | 28.000000 |
A tabela de ANAVA apresentada mostra a comparação entre três métodos de controle automático (PID, LQR e Fuzzy), com a variável resposta sendo o tempo de estabilização. O valor de p (0,0101) é inferior ao nível de significância de 5%, o que indica que há uma diferença estatisticamente significativa entre pelo menos dois dos grupos analisados. Ou seja, rejeita-se a hipótese nula de igualdade das médias, sugerindo que o tipo de controle influencia o tempo de estabilização do processo térmico.
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## Controle 2 249.0 124.52 5.468 0.0101 *
## Residuals 27 614.9 22.77
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1# Converter resultado ANOVA para data frame
anova_df <- summary(modelo)[[1]] |>
tibble::rownames_to_column("Fonte de Variação") |>
rename(
`GL` = Df,
`SQ` = `Sum Sq`,
`QM` = `Mean Sq`,
`Valor-F` = `F value`,
`Pr(>F)` = `Pr(>F)`
)
# Exibir tabela ANOVA com formatação
anova_df |>
gt() |>
tab_header(
title = md("**Tabela - ANOVA do Modelo**")
) |>
tab_style(
style = list(cell_text(weight = "bold", color = "white"),
cell_fill(color = "black")),
locations = cells_column_labels()
) |>
tab_style(
style = cell_text(align = "center"),
locations = cells_body(columns = everything())
) |>
fmt_number(
columns = where(is.numeric),
decimals = 3
)| Tabela - ANOVA do Modelo | |||||
| Fonte de Variação | GL | SQ | QM | Valor-F | Pr(>F) |
|---|---|---|---|---|---|
| Controle | 2.000 | 249.037 | 124.519 | 5.468 | 0.010 |
| Residuals | 27.000 | 614.865 | 22.773 | NA | NA |
O gráfico “Resíduos vs Valores Ajustados” revela uma tendência visível nos resíduos, com destaque para três observações extremamente altas (28, 29 e 30 segundos) que pertencem ao grupo Fuzzy. Essa tendência indica que o modelo não está conseguindo capturar adequadamente a variabilidade dos dados, o que sugere a violação da suposição de homocedasticidade (variância constante dos resíduos) e, possivelmente, de independência.
Já o gráfico Q-Q Plot mostra que os resíduos não seguem uma distribuição normal: os pontos esperados se afastam significativamente da linha teórica nos extremos, novamente devido aos outliers no grupo Fuzzy, o que configura uma clara violação da normalidade dos resíduos.
O gráfico Scale-Location reforça a heterocedasticidade, pois evidencia que a variabilidade dos resíduos aumenta com os valores ajustados. A linha crescente sugere que as variâncias não são constantes ao longo dos grupos, invalidando outro pressuposto essencial da ANAVA.
Por fim, o gráfico Resíduos vs Níveis do Fator (Tipo de Controle) mostra que os maiores resíduos ocorrem exclusivamente no grupo Fuzzy, com valores altamente discrepantes em relação aos demais níveis. Essa distorção compromete a comparação entre os grupos e pode enviesar os resultados da análise.
Diante dessas evidências, conclui-se que as premissas básicas da ANAVA não foram atendidas, comprometendo a validade da análise estatística. Como alternativas, pode-se aplicar transformações nos dados, como logaritmo ou raiz quadrada, visando estabilizar as variâncias e aproximar os resíduos da normalidade. Outra solução viável seria adotar métodos robustos ou não paramétricos, como o teste de Kruskal-Wallis, que não pressupõe normalidade nem homogeneidade de variância. Além disso, é recomendável realizar análises com e sem os outliers, comparando os resultados e justificando a abordagem escolhida com base no contexto do experimento.
A análise dos pressupostos da ANAVA foi complementada com dois testes estatísticos: o Shapiro-Wilk para normalidade dos resíduos e o Bartlett para homogeneidade das variâncias. Ambos os testes retornaram valores de p extremamente baixos (p < 0,01), indicando que os pressupostos fundamentais da ANAVA não foram atendidos neste conjunto de dados.
O teste de Shapiro-Wilk foi utilizado para verificar se os resíduos do modelo seguem uma distribuição normal, como exige a ANAVA clássica. O valor de W = 0,75428 com um p-valor de 1.069e-05 indica uma forte evidência contra a normalidade dos resíduos. Isso significa que os dados apresentam uma distribuição distorcida, provavelmente influenciada pela presença de outliers, como já identificado nos gráficos de diagnóstico.
Já o teste de Bartlett foi empregado para verificar a homogeneidade das variâncias entre os grupos (PID, LQR e Fuzzy). O resultado, com p-valor = 2.012e-14, indica que as variâncias são significativamente diferentes entre os grupos. Ou seja, a suposição de variâncias iguais — essencial para a validade do teste F da ANAVA — foi violada.
Esses dois resultados confirmam que a aplicação direta da ANAVA não é apropriada neste caso. Como alternativa, recomenda-se aplicar transformações nos dados (como logaritmo ou raiz quadrada), ou empregar testes não paramétricos, como o Kruskal-Wallis, que são mais robustos a essas violações.
##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: residuals(modelo)
## W = 0.75428, p-value = 1.069e-05##
## Bartlett test of homogeneity of variances
##
## data: Tempo by Controle
## Bartlett's K-squared = 63.074, df = 2, p-value = 2.012e-14# Criar dataframe do teste de Shapiro-Wilk
shapiro_df <- data.frame(
Estatística = "W",
Valor = 0.75428,
`p-valor` = 1.069e-05
)
# Exibir tabela formatada
shapiro_df |>
gt() |>
tab_header(
title = md("**Tabela - Teste de Normalidade (Shapiro-Wilk)**")
) |>
tab_style(
style = list(cell_text(weight = "bold", color = "white"),
cell_fill(color = "black")),
locations = cells_column_labels()
) |>
tab_style(
style = cell_text(align = "center"),
locations = cells_body(columns = everything())
) |>
fmt_number(
columns = where(is.numeric),
decimals = 5,
use_seps = FALSE
)| Tabela - Teste de Normalidade (Shapiro-Wilk) | ||
| Estatística | Valor | p.valor |
|---|---|---|
| W | 0.75428 | 0.00001 |
A ANAVA não paramétrica de Kruskal-Wallis é uma alternativa à ANOVA tradicional quando os pressupostos desta não são atendidos, especialmente a normalidade dos resíduos e a homogeneidade de variâncias. Ao contrário da ANOVA clássica, o teste de Kruskal-Wallis não exige que os dados sigam uma distribuição normal, o que o torna adequado para dados assimétricos ou com distribuição desconhecida.
Outro ponto forte do teste de Kruskal-Wallis é sua robustez a outliers. Como ele trabalha com ranks (posições ordenadas dos valores) em vez dos próprios valores numéricos, os efeitos de observações extremas são minimizados, reduzindo seu impacto nos resultados da análise.
Se o valor-p for menor que o nível de significância adotado (por exemplo, 0,05), podemos concluir que há pelo menos um grupo com mediana significativamente diferente dos demais.
##
## Kruskal-Wallis rank sum test
##
## data: Tempo by Controle
## Kruskal-Wallis chi-squared = 18.661, df = 2, p-value = 8.869e-05Este relatório demonstrou, com base em um experimento simulado, como a presença de outliers pode comprometer os pressupostos fundamentais da ANAVA tradicional. Os testes formais de normalidade (Shapiro-Wilk) e homogeneidade de variâncias (Bartlett) revelaram violações significativas, reforçadas pelas análises gráficas dos resíduos. Tais violações invalidam a aplicação do teste F da ANAVA, podendo levar a conclusões incorretas sobre a influência do fator estudado.
Como alternativa metodológica, foi aplicada a ANAVA não paramétrica de Kruskal-Wallis, que não exige normalidade nem igualdade de variâncias. Este teste confirmou a existência de diferenças estatisticamente significativas entre os grupos, mesmo diante dos valores extremos. Por sua natureza robusta, o teste de Kruskal-Wallis mostrou-se mais adequado para analisar os dados simulados neste estudo.
Concluímos, portanto, que a validação dos pressupostos da ANAVA é uma etapa crítica na análise de experimentos. Em casos de violação, recomenda-se o uso de transformações ou métodos estatísticos robustos, como testes não paramétricos, para garantir que as inferências realizadas sejam confiáveis e representem com fidelidade os fenômenos observados.
# Carregar bibliotecas
library(gt)
library(dplyr)
# Gerar os dados
set.seed(456)
Controle <- rep(c("PID", "LQR", "Fuzzy"), each = 10)
Tempo <- c(
rnorm(10, mean = 10, sd = 0.5), # PID
rnorm(10, mean = 9, sd = 0.6), # LQR
c(rnorm(7, mean = 11, sd = 0.4), 25, 30, 28) # Fuzzy com outliers
)
dados <- data.frame(Controle, Tempo)
# Exibir tabela formatada
dados |>
gt() |>
tab_style(
style = list(cell_text(weight = "bold", color = "white"),
cell_fill(color = "black")),
locations = cells_column_labels()
) |>
tab_style(
style = cell_text(align = "center"),
locations = cells_body(columns = everything())
) |>
data_color(
columns = everything(),
rows = seq(1, 10, 1),
palette = "#f2f2f2"
) |>
data_color(
columns = everything(),
rows = seq(11, 20, 1),
palette = "#FFB2B2"
) |>
data_color(
columns = everything(),
rows = seq(21, 30, 1),
palette = "#f2f2f2"
)
modelo <- aov(Tempo ~ Controle, data = dados)
summary(modelo)
# Converter resultado ANOVA para data frame
anova_df <- summary(modelo)[[1]] |>
tibble::rownames_to_column("Fonte de Variação") |>
rename(
`GL` = Df,
`SQ` = `Sum Sq`,
`QM` = `Mean Sq`,
`Valor-F` = `F value`,
`Pr(>F)` = `Pr(>F)`
)
# Exibir tabela ANOVA com formatação
anova_df |>
gt() |>
tab_header(
title = md("**Tabela - ANOVA do Modelo**")
) |>
tab_style(
style = list(cell_text(weight = "bold", color = "white"),
cell_fill(color = "black")),
locations = cells_column_labels()
) |>
tab_style(
style = cell_text(align = "center"),
locations = cells_body(columns = everything())
) |>
fmt_number(
columns = where(is.numeric),
decimals = 3
)
par(mfrow = c(2, 2))
plot(modelo)
shapiro.test(residuals(modelo)) # Teste de normalidade
bartlett.test(Tempo ~ Controle, data = dados) # Homogeneidade de variâncias
# Criar dataframe do teste de Shapiro-Wilk
shapiro_df <- data.frame(
Estatística = "W",
Valor = 0.75428,
`p-valor` = 1.069e-05
)
# Exibir tabela formatada
shapiro_df |>
gt() |>
tab_header(
title = md("**Tabela - Teste de Normalidade (Shapiro-Wilk)**")
) |>
tab_style(
style = list(cell_text(weight = "bold", color = "white"),
cell_fill(color = "black")),
locations = cells_column_labels()
) |>
tab_style(
style = cell_text(align = "center"),
locations = cells_body(columns = everything())
) |>
fmt_number(
columns = where(is.numeric),
decimals = 5,
use_seps = FALSE
)
kruskal.test(Tempo ~ Controle, data = dados)
boxplot(Tempo ~ Controle, data = dados,
col = c("skyblue", "lightgreen", "salmon"),
main = "Tempo de Estabilização por Tipo de Controle",
ylab = "Tempo (s)")